Se dice dar caña cuando se intensifica la resolución de algo.
Parece ser que esta expresión proviene de la cañaheja.
¿Qué tiene que ver esta planta con darse prisa por terminar algo? Pues muy sencillo, eran las ramas de esta planta las que se utilizaban normalmente para golpear a los animales de carga o transporte para que avivasen el paso. Y, como también esta expresión indica dar caña a alguien, aludiendo a un castigo físico, pues sí, también se usaban estas ramas para azotar a alguien en espalda, manos o nalgas.
Por las mismas razones existen expresiones con los términos: estopa (la parte basta del lino o del cáñamo), que era uno de los materiales con los que se elaboraban los látigos o azotes; las trallas (trozos de cuerda que se colocaban en los extremos del látigo para que restallasen); la cera (materia usada para suplicios, al ser vertida hirviendo sobre las llagas hechas por los latigazos); la leña (su origen son las peleas con palos o estacas).